Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 5

Ответ:

Решение.
Будем постепенно раскрывать модули.
. Пусть . Тогда выражение имеет вид

. Пусть , тогда выражение имеет вид

Так как в функции берется модуль от , то это означает, что можно начертить график в области и сделать симметрию, относительно оси . Тогда рассмотрим выражение:

Рассмотрим, в общем, график функции . Раскрывая модуль, мы получим следующее:
. Если , то . График -- прямая, проходящая через точки , .
. Если , тогда . График -- прямая, проходящая через точки , .

Таким образом в области , мы имеем пару параллельных прямых, проходящих через точки -- и -- .

. Пусть , тогда выражение имеет вид

Теперь опять применим свойство модуля и будем исследовать выражение

Раскроем модуль, получим график -- две параллельные прямые, проходящие через точки -- и -- .

В области, где также воспользуемся свойством модуля. График в этой области симметричен относительно оси . Таким образом, получаем следующую фигуру

Теперь посчитаем площадь. Так как фигура симметрична относительно оси , достаточно посчитать площадь верхней половины. Удобнее всего увидеть, что это квадрат со стороной из которого «вырезали» меньший квадрат со стороной и «отрезали» угол -- равнобедренный прямоугольный треугольник, высота которого к гипотенузе равна , а гипотенуза равна .
Таким образом площадь равна: .