Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 6

Очень сложная

Источник:

Олимпиада «Ломоносов», Заключительный этап, 2022, 11 класс

При каких значениях параметра наибольшее расстояние между корнями уравнения

принадлежащими интервалу , принимает наименьшее значение? Найдите это наименьшее значение.

Ответ: при .

Решение. Данное уравнение можно переписать в виде

откуда при либо и , либо и , либо (при ) и . Таким образом, данное уравнение имеет на интервале два или три различных корня (второй корень не может совпадать с третьим, так как и имеют разные знаки при любом в силу нечётности арктангенса).

Случай : . Тогда остаётся два корня и , которые отличаются на .

Случай : . Тогда разность между корнями и больше, чем .

Похожие задачи

Ломоносов, 2026, 11 класс, задача 8

В-1 При каких значениях параметра a множество решений неравенства 3x²log_a x-log_x a-2x≥0 (относительно неизвестной x) состоит из полуинтервала и точки (которая не принадлежит этому полуинтервалу и не является его концом)?

Очень сложная

Алгебра

Ломоносов, 2025, 11 класс, задача 5

В-1 Даны три функции f₁(x) = (x + a₁)(x² + b₁x + 6), f₂(x) = (x + a₂)(x² + b₂x + 8), f₃(x) = (x + a₃)(x² + b₃x + 12) (здесь a₁, b₁, a₂,

Очень сложная

Алгебра

Ломоносов, 2024, 10 класс, задача 7

В-1 Старинный подземный ход имеет свод параболической формы (то есть в поперечном сечении туннель ограничен полом - осью Ox и графиком некоторой параболы y = a - bx²). Ширина туннеля (измеряется по полу) равна 24, высота туннеля равна 18. Ход укрепили распорками - на параболе отметили точ

Очень сложная

Алгебра

Планиметрия

Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 2

В-1 При каком наименьшем по модулю значении параметра α уравнение 1234sin²⁰(x - (π/3)) - 789cos²³(α x - (π/4)) = 2023 имеет решение на отрезке [-π;π]?

Очень сложная

Алгебра