Ломоносов, 2024, 10 класс, задача 7
В-1 Старинный подземный ход имеет свод параболической формы (то есть в поперечном сечении туннель ограничен полом - осью и графиком некоторой параболы ). Ширина туннеля (измеряется по полу) равна , высота туннеля равна . Ход укрепили распорками - на параболе отметили точки , , , и соединили их между собой балками. Балки и параллельны полу, пересекается с , и при этом . Найдите расстояние между балками и .
Ответ:
Решение. Допустим, ширина тоннеля равна , а высота равна . Из этих параметров однозначно выводятся параметры параболы: принадлежит отрезку , а , так что
Теперь зададим координаты точек так:
Так как и параллельны полу, понятно, что ординаты и одинаковы, значит, абсциссы отличаются только знаком. Аналогично для и .
Тогда перпендикулярность и , и можно выразить, например, через равенство нулю скалярных произведений. Достаточно рассмотреть одну пару, так как рисунок симметричен.
Выносим множитель:
То есть либо (но балки не совпадают, поэтому такой вариант не пойдёт), либо
А расстояние между балками - это
или, после подстановки,