Ломоносов, 2025, 11 класс, задача 5
В-1 Даны три функции
(здесь , , , , , - положительные числа). Для каждого действительного выполняется условие .
Найдите значение суммы .
Ответ
Ответ: .
Решение. Так как , то уравнение имеет отрицательные корни , , , и это три разных корня, так как если бы линейные множители в двух тождественно равных функциях были бы одинаковыми, то совпадали бы и квадратичные множители, а по условию задачи это не так.
Поэтому из теоремы Виета следует:
Отсюда , и . Поэтому , , . Далее, , , . Соответственно, , и . Поэтому
Заметим, что можно было просто раскрыть скобки в каждой из трех функций и приравнять коэффициенты при соответствующих степенях . Однако возникающая после этого система шести уравнений решается достаточно трудоемко.