Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 3
В-1 Числа таковы, что каждое из двух уравнений и имеет по два целых корня, при этом все эти корни меньше . Найдите наименьшее значение .
Ответ: .
Решение. По теореме Виета произведение корней первого уравнения равно , произведение корней второго уравнения равно . Ввиду того, что корни целые и меньше , их произведение больше , поэтому каждое из двух последовательных чисел и является произведением двух различных целых чисел, больших . Так как первое нечетное число, не являющееся простым или квадратом простого, это , то получается , . Тогда корни первого уравнения и (при этом ), корни второго уравнения и (при этом ).
Критерии проверки: Правильно использована теорема Виета, верные рассуждения про произведения корней, ответ неверен из-за арифметической ошибки. Или анализируются только произведения корней, получены верные ± 10 значения a, но не доказано, что исходные уравнения имеют корни. Корни нужно либо предъявить, либо доказать существование двух корней в каждом из уравнений. Правильно использована теорема Виета, ошибка в рассуждениях о ∓ 5 произведениях корней.