Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 2
В-1 При каком наименьшем по модулю значении параметра уравнение
имеет решение на отрезке ?
Ответ:
Решение. Так как синус и косинус по модулю не превосходят , а , решением уравнения может быть только такой , при котором входящие в уравнение синус и косинус равны соответственно (при возведении в -ю степень даст ) и (таким же останется при возведении в -ю степень). Отсюда находятся последовательности возможных значений для и для (см. таблицу ниже для различных вариантов).
Эти значения включают в себя целочисленные параметры и , причем условие приводит к ограничению на возможные целые значения параметра . Для всех вариантов оказывается, что может быть равным либо , либо .
Чтобы полученные для и значения могли достигаться при одном и том же , надо, чтобы их отношение совпадало с . Таким образом, наше уравнение имеет решение на отрезке , когда представимо в виде дроби из таблицы, в которой равно или , а -- любое целое число.
Чтобы найти такую дробь с наименьшим модулем, выберем , минимизирующее модуль числителя, (для приведенных числителей это или ), а также допустимое , максимизирующее модуль знаменателя.
Критерии проверки: Арифметическая ошибка в конце решения (при этом верный ответ не получен ни в каком 10 виде) или в процессе решения упущена точка Указано, что решения возможны только при экстремальных значениях синуса, косинуса 5