Ломоносов, 2020, 11 класс, задача 4

Очень сложная

Источник:

Олимпиада «Ломоносов», Заключительный этап, 2020, 11 класс

Точки и лежат на окружности с центром и радиусом , а точка равноудалена от точек и . Другая окружность с центром и радиусом описана около треугольника . Найдите .

Ответ: .

Решение. Так как и , треугольники и равны. Поэтому точки и симметричны относительно прямой , так что .

Далее, . Поэтому

Похожие задачи

Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 5

В-1 Из равнобедренного треугольника с углом α при вершине и площадью 1 вырезают максимальный по площади круг, а из него - максимальный по площади треугольник, подобный исходному. Какое наибольшее и наименьшее значение принимает площадь S(α) полученного в итоге треугольника при 60^circ≤α≤12

Очень сложная

Планиметрия

Ломоносов, 2026, 10 класс, задача 7

Газонокосильщик участвует в гонке по трассе указанной формы (состоит из двух дуг окружностей и касающихся их прямых, радиусы окружностей 4 и 1, расстояние между центрами окружностей равно 6). Саму косилку можно считать маленькой, точкой. Скошенную траву она отбрасывает на расстояние 1.5 в сторону, н

Очень сложная

Планиметрия

Ломоносов, 2023, 11 класс, задача 4

В-1 Две стороны выпуклого четырехугольника имеют длину 6, ещё одна -- длину 1, а его площадь -- наибольшая возможная при таких условиях. Какова длина четвертой стороны четырехугольника?

Очень сложная

Планиметрия

Ломоносов, 2026, 11 класс, задача 7

В-1 Вовочке вместо обычной тетради в клетку досталась тетрадь, у которой линии сетки являются параболами вида y=pm x²+c, где c∈mathbb Z. Система координат, в которой написаны эти уравнения, имеет начало в центре листа, её оси параллельны его сторонам, а единичный отрезок равен 1 см. Разме

Очень сложная

Алгебра

Планиметрия