Очень сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиада «Ломоносов», Заключительный этап, 2021, 10–11 классы

Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 5

В-1 Из равнобедренного треугольника с углом при вершине и площадью вырезают максимальный по площади круг, а из него - максимальный по площади треугольник, подобный исходному. Какое наибольшее и наименьшее значение принимает площадь полученного в итоге треугольника при ?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: ; .

Решение. Пусть и - радиус окружности. Тогда половины основания исходного и вырезанного треугольников соответственно равны

причём функция

где при

а при

убывает при . Поэтому

1

Критерии проверки: Верно получено одно из экстремальных значений. Второе ± 10 получено неверно из-за арифметической ошибки Оба значения неверны, но из-за арифметической ошибки ИЛИ ∓ 5 Не учтено, что максимальный по площади треугольник данной формы, лежащий внутри данной окружности, не всегда вписанный

15
Максимум: 15

Похожие задачи

Ломоносов, 2026, 11 класс, задача 5

В-1 Три графика параболы y=Cx2 повернули и состыковали так, что получился равносторонний симметричный «треугольник» с нулевыми углами. Найдите радиус вписанной в этот «треугольник» окружности, если измеренное по прямой расстояние между соседними вершинами треугольника равно 1. Треугольник
Очень сложная
Алгебра
Планиметрия

Ломоносов, 2025, 11 класс, задача 8

В-1 Через три стороны правильного 30-угольника проводят прямые. Стороны выбирают так, что прямые пересекаются друг с другом, и исходный многоугольник лежит внутри полученного треугольника. Сколько попарно неравных треугольников может получиться? Равными считаются треугольники, которые можно совмести
Очень сложная
Планиметрия
Комбинаторика

Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 4

В-1 Две кольцевые трассы α и β одинакового радиуса касаются друг друга. По трассе α по часовой стрелке едет автомобиль A, по трассе β против часовой стрелки едет автомобиль B. В момент старта автомобили A и B находятся на одной прямой с центром трассы α, причём эта прямая касается трассы β. После ст
Очень сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2020, 10 класс, задача 6

На биссектрисе угла BAC треугольника ABC отмечена точка M, а на продолжении стороны AB за точку A -- точка N так, что AC=AM=1 и angle ANM=angle CNM. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника CNM.
Очень сложная
Планиметрия