Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 5

Очень сложная

Источник:

Олимпиада «Ломоносов», Заключительный этап, 2021, 10–11 классы

В-1 Из равнобедренного треугольника с углом при вершине и площадью вырезают максимальный по площади круг, а из него - максимальный по площади треугольник, подобный исходному. Какое наибольшее и наименьшее значение принимает площадь полученного в итоге треугольника при ?

Ответ: ; .

Решение. Пусть и - радиус окружности. Тогда половины основания исходного и вырезанного треугольников соответственно равны

причём функция

где при

а при

убывает при . Поэтому

Критерии проверки: Верно получено одно из экстремальных значений. Второе ± 10 получено неверно из-за арифметической ошибки Оба значения неверны, но из-за арифметической ошибки ИЛИ ∓ 5 Не учтено, что максимальный по площади треугольник данной формы, лежащий внутри данной окружности, не всегда вписанный

Максимум: 15

Похожие задачи

Ломоносов, 2026, 11 класс, задача 5

В-1 Три графика параболы y=Cx² повернули и состыковали так, что получился равносторонний симметричный «треугольник» с нулевыми углами. Найдите радиус вписанной в этот «треугольник» окружности, если измеренное по прямой расстояние между соседними вершинами треугольника равно 1. Треугольник

Очень сложная

Алгебра

Планиметрия

Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 4

В-1 Две кольцевые трассы α и β одинакового радиуса касаются друг друга. По трассе α по часовой стрелке едет автомобиль A, по трассе β против часовой стрелки едет автомобиль B. В момент старта автомобили A и B находятся на одной прямой с центром трассы α, причём эта прямая касается трассы β. После ст

Очень сложная

Планиметрия

Ломоносов, 2020, 10 класс, задача 6

На биссектрисе угла BAC треугольника ABC отмечена точка M, а на продолжении стороны AB за точку A -- точка N так, что AC=AM=1 и angle ANM=angle CNM. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника CNM.

Очень сложная

Планиметрия

Ломоносов, 2024, 10 класс, задача 4

В-1 На стороне AC треугольника ABC отмечены такие точки M и N, что angle ABM = 15^circ, angle MBN = 45^circ и angle NBC = 75^circ, а сумма и произведение площадей треугольников ABM и NBC равны 5 и 3 соответственно. Найдите площадь треугольника ABC.

Очень сложная

Планиметрия