Ломоносов, 2022, 10 класс, задача 1
Найдите наименьшее натуральное число, обладающее следующим свойством: остаток от его деления на на единицу меньше остатка от его деления на , а остаток от его деления на равен .
Ответ: .
Решение. Искомое число равно , где и .
Из первого равенства и сравнения по модулю получаем, что . Так как ищем наименьшее число, то попробуем , если это не подойдёт, то рассмотрим и так далее. Ищем искомое число в виде , сравниваем по модулю : , следовательно, , что невозможно. Теперь ищем искомое число в виде , значит, , то есть . Число удовлетворяет условию и наименьшее по построению.