Ломоносов, 2022, 10 класс, задача 2
Треугольная пирамидка, все рёбра которой имеют длину см, стоит на плоском столе. Пирамидку перекатывают по столу через рёбра раз таким образом, что одна из её вершин всё время остаётся неподвижной, при этом два раза подряд через одно и то же ребро пирамидку не перекатывают. Найдите длину траектории, по которой за время этих перекатываний перемещается подвижная вершина пирамиды.
Ответ
Ответ: см.
Решение. Обозначим пирамидку . Пусть -- неподвижная вершина, а вершина в начальный момент не касается поверхности стола. Пусть первое перекатывание осуществляется через ребро . Вершина при этом перекатывании перемещается по дуге окружности с центром в середине ребра и радиусом, равным апофеме пирамидки, то есть см. По теореме косинусов из треугольника находим, что , поэтому на дугу окружности, по которой движется точка , опирается центральный угол величиной . Значит, длина этой дуги равна см.
При втором перекатывании (через ребро ) точка остается неподвижной, при третьем (через рёбро ) проходит по дуге такой же длины, как при первом перекатывании, а следующие три перекатывания происходят аналогично первым трём, и в результате пирамидка возвращается в исходное положение. При этом точка перемещается по траектории длиной см.