Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 2
Загадано -значное натуральное число, любые две соседние цифры которого (расположенные в том же порядке) образуют двузначное число, делящееся или на , или на . Загаданное число начинается с цифры . Какой цифрой оно заканчивается?
Ответ: или .
Решение. Двузначные числа, делящиеся на , — это , , , , . Двузначные числа, делящиеся на , — это , , , . Так как первая цифра , то вторая цифра , третья , а четвертая или . Если четвертая цифра , то продолжение: – – – дальше продолжения нет. Значит, четвертая цифра , и продолжение: – – – – – – и так далее. Тогда мы получаем почти периодическую последовательность: – – – – – – – – – ..., в которой период равен . Тогда на месте будет цифра , так как . Выше было показано, что цифра встретиться в начальных позициях загаданного числа не может. Но при этом она может первой, второй или третьей с конца. Поэтому возможна ситуация, когда в предыдущей последовательности после последней цифры стоят – – . Тогда последняя цифра числа .