Ломоносов, 2020, 10 класс, задача 3

Ответ: .

Решение. Количество различных натуральных делителей числа , допускающего разложение на простые множители

(здесь ), выражается формулой

В самом деле, любой делитель числа имеет вид , где , , при этом каждый показатель можно выбрать способом (от до ).

Таким образом, требуется найти наименьшее число вида , для которого

то есть определить соответствующие показатели и простые множители .

Покажем, что искомым числом является число . Можно считать (перенумеровав при необходимости простые множители), что показатели в разложении упорядочены по невозрастанию: . Кроме того, несложно видеть, что для фиксированного (упорядоченного по невозрастанию) набора показателей среди всех чисел вида наименьшим является число, у которого -- это первые простых чисел, взятые в порядке увеличения. Действительно, если , , то (поскольку ), и перестановка множителей и позволяет уменьшить искомое число. При этом, очевидно, должны быть задействованы все наименьшие простые множители.

Далее, заметим, что число должно входить в произведение отдельным множителем, так как иначе и

Остается перебрать возможные разложения числа с отдельным множителем :

и сравнить между собой числа