Ломоносов, 2026, 11 класс, задача 2
В-1 В множество входят все такие натуральные числа, которые при делении на сумму своих цифр дают целое число, кратное (не обязательно одно и то же для всех этих чисел). Найдите все трехзначные числа, входящие в множество и, расположив их в порядке возрастания, найдите сумму первого из них, шестого и последнего.
Ответ:
Решение. Обозначим через сумму цифр числа . Поскольку , то кратно , а значит, и тоже кратно . Отсюда следует, что кратно . Исходя из этого, а также того, что трехзначное, может принимать значения , , , , , , , , , или . Если , то условия задачи выполнены, так как кратно . Значит, и подходят. Если , то прямой проверкой убеждаемся, что и подходят, а и нет - они даже не делятся на сумму своих цифр. Таким образом, существует таких трехзначных чисел: и . Искомая сумма:
Критерии проверки: Правильное в целом решение, испорченное арифметической ошибкой . Попытка обоснования присутствует, но имеет содержательный изъян. Например, в решении найдено, что кратно , но во множество включены вообще все кратные числа . Численно верный ответ, но без обоснования .