Ломоносов, 2023, 11 класс, задача 5

Очень сложная
Теория чисел
Источник:
Олимпиада «Ломоносов», Заключительный этап, 2023, 11 класс

В-1 Обозначим через число цифр в десятичной записи натурального числа . Найдите сумму

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ:

Решение. Заметим, что

Аналогично,

Тогда

Значит, целое, причем , так как , . Отсюда , а ответ равен .
В общем случае -- .

1

Критерии проверки: Правильный ответ при недостаточном обосновании (в т. ч. использование знака ‘≈’) 10

15
Максимум: 15

Похожие задачи

Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 8

В-1 Сколько точек пространства с целочисленными координатами принадлежат треугольнику с вершинами (3, 4, 5), (11, 10, 6), (5, 8, 9)? Точки на вершинах и сторонах тоже считаются.
Очень сложная
Теория чисел
Планиметрия

Ломоносов, 2022, 10 класс, задача 1

Найдите наименьшее натуральное число, обладающее следующим свойством: остаток от его деления на 20 на единицу меньше остатка от его деления на 21, а остаток от его деления на 22 равен 2.
Очень сложная
Теория чисел

Ломоносов, 2022, 11 класс, задача 2

Загадано 2022-значное натуральное число, любые две соседние цифры которого (расположенные в том же порядке) образуют двузначное число, делящееся или на 19, или на 23. Загаданное число начинается с цифры 4. Какой цифрой оно заканчивается?
Очень сложная
Теория чисел

Ломоносов, 2026, 11 класс, задача 2

В-1 В множество A входят все такие натуральные числа, которые при делении на сумму своих цифр дают целое число, кратное 9 (не обязательно одно и то же для всех этих чисел). Найдите все трехзначные числа, входящие в множество A и, расположив их в порядке возрастания, найдите сумму первого из них, шес
Очень сложная
Теория чисел