Ломоносов, 2022, 10 класс, задача 6
Найдите координаты всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от всех точек пересечения парабол, заданных в декартовой системе координат на плоскости уравнениями и .
Ответ
Ответ: .
Решение. Изобразив параболы с данными уравнениями, легко заметить, что они имеют общие точки. Значит, равноудалённая от них точка может быть максимум одна. Перепишем уравнения парабол в виде и и сложим. Получим уравнение
Это уравнение окружности с центром радиуса , и ему удовлетворяют координаты всех точек пересечения парабол, а центр окружности равноудалён от этих точек пересечения.