Ломоносов, 2022, 10 класс, задача 4
По окружности выписаны единицы. Два игрока ходят по очереди: за один ход игрок стирает два соседних числа из написанных и пишет вместо них их сумму (один раз). Выигрывает тот, кто получит число . Если в конце игры остаётся одно число, не равное , игра оканчивается вничью. Может ли кто-то из игроков обеспечить себе победу, и если да, то каким образом?
Ответ: Выиграет второй.
Решение. Выигрывает второй. Стратегия: повторять ходы первого игрока симметрично относительно центра окружности до тех пор, пока после хода первого игрока не возникнут либо две соседствующие двойки, либо тройка, соседствующая с единицей. В этих случаях второй игрок перехватывает инициативу и побеждает.
Почему такие ситуации непременно должны возникнуть? Почему игру нельзя свести к ничьей? Давайте представим, что на поле пока ещё нет чисел больше двух. Если игра идёт, то рано или поздно должны появиться числа, большие двух. Как это произойдёт? Из единиц и двоек можно сложить либо тройку, либо четвёрку. Четвёрка складывается из двух соседствующих двоек и приносит победу. Если после хода первого игрока на поле нет , то и после зеркального хода второго на поле не появится. Если первый допустил , то второй побеждает.
Значит, рассмотрим тройку. Чтобы тройка не привела второго к победе, нужно, чтобы с ней не соседствовала единица, то есть на поле нужно сочетание . А как могло выглядеть это поле ход назад? , опять получаем двойки по соседству.
Поэтому появления плохой для себя комбинации первый игрок избежать не может.