Ломоносов, 2026, 11 класс, задача 3
В-1 Пусть - множество точек в пространстве, все координаты которых являются целыми числами, не превосходящими по модулю . Найдите количество прямоугольных треугольников, все вершины которых принадлежат , а каждый из катетов параллелен одной из трех координатных осей.
Ответ:
Решение. Поскольку две стороны треугольника параллельны осям координат, каждый из треугольников расположен в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Пусть это будет плоскость . Найдём количество прямоугольников в этой плоскости, координаты вершин которых - натуральные числа, удовлетворяющие условиям , , , а стороны параллельны осям . Нам нужно выбрать две вертикальные прямые из и две горизонтальные прямые из . Таким образом, всего получится
прямоугольников.
Каждый прямоугольник порождает прямоугольных треугольника, удовлетворяющих условиям задачи. (Важно, что ни один из этих четырёх треугольников не может быть порожден другим прямоугольником.) Таким образом, количество прямоугольных треугольников в плоскости равно . Точно такое же количество треугольников будет при . Аналогично рассматриваются плоскости, параллельные другим координатным плоскостям. В результате количество прямоугольных треугольников равно
Критерии проверки: В целом верное решение, имеющее арифметическую ошибку . Высказана мысль о том, что надо рассматривать треугольники в разных плоскостях, но сам комбинаторный подсчёт треугольников внутри слоя неверный .