Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 7
В-1 На подвешенном в воздухе кубике Рубика, на одном из его квадратиков, сидит жучок. В какой-то момент он начинает движение по поверхности куба, передвигаясь за каждую секунду на соседний квадратик, т. е. на квадратик, имеющий общую сторону с текущим. Соседний квадратик для первого перемещения был выбран произвольно, а затем жучок следовал таким правилам:
-
при -м, -м и других четных перемещениях жучок не менял направления своего движения, т. е. покидал квадратик через сторону, противоположную той, через которую он на этот квадратик попал;
-
при -м, -м и других нечетных перемещениях жучок поворачивал направо (относительно своего движения).
Через с после начала движения жучок обратил внимание на то, что уже был на этом же квадратике с назад. Через какое наименьшее число секунд после -й жучок опять окажется на этом квадратике?
Ответ:
Решение. Для отслеживания движения жучка будем использовать частичную развертку куба, покрывающую грани. Каждый квадратик будем обозначать двузначным числом, -я и -я цифры которого являются соответствующими координатами центра квадратика на развертке (единица -- ширина квадратика):
Маршрут жучка определяется его начальным положением и направлением его первого перемещения. Хотя всего таких вариантов , их все можно разбить на принципиально различных групп:
) жучок стартует с центрального квадратика любой грани по направлению к любому ребру;
--) старт с углового квадратика любой грани, а первое перемещение в пределах той же грани вдоль ребра, идущего соответственно справа или слева от жучка;
--) старт с углового квадратика любой грани, а при первом перемещении жучок переползает на соседнюю грань, причем третья примыкающая грань остается соответственно справа или слева от него;
) старт с приреберного квадратика любой грани по направлению к центру;
) старт с приреберного квадратика любой грани с переходом на соседнюю грань при первом перемещении;
--) старт с приреберного квадратика любой грани, а первое перемещение в пределах той же грани вдоль ребра, идущего соответственно справа или слева от жучка.
Заполним таблицу, в которой для каждой группы приведем пример маршрута в течение того времени, когда обнаруживается его периодичность, т. е. когда на какой-либо четной секунде жучок оказывается на начальном квадратике, а еще через с -- на квадратике, где он был через с после начала движения.
Так как (остаток от деления на равен ) и (остаток от деления на равен ), то через с после начала движения жучок окажется на том же квадратике, на котором он был через с после начала, а за с до этого -- на том же квадратике, на котором он был через с после начала.
Как видно из таблицы, такое совпадение имеет место только для группы (квадратик ). Так как этот квадратик встречается на маршруте только дважды в течение периода ( с и с), следующее попадание на него произойдет через (с).
Критерии проверки: Перебор с верным ответом 15 Перебор без верного ответа 5