Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 4
В-1 Автодром состоит из трех попарно касающихся кольцевых трасс (см. рисунок). Автомобиль в любой точке касания может продолжать движение по любой из двух возможных трасс, но нигде не может разворачиваться на . По каждой из трех трасс автомобиль едет со своей скоростью, так что любую из дуг длиной км он проезжает за минут, любую из дуг длиной км - за минут, а любую из дуг - за минут.
Выехав из точки , автомобиль через час минут оказался в ней же. Сколько километров проехал автомобиль?
Ответ:
Решение. Рассмотрим варианты, которыми находящийся в точке автомобиль может в следующий раз впервые снова оказаться в этой точке.
Во-первых, можно сделать это, не проходя через точку , т. е. путем .
Во-вторых, можно одним из двух способов ( или ) добраться до точки , сделать несколько кругов («несколько» может быть и нулем) и вернуться одним из двух способов ( или ) в точку .
В любом случае мы либо четное число раз проезжаем по -минутной дуге, четное число раз по -минутной и четное число раз по -минутной, либо наоборот, нечетное число раз по каждому из трех типов дуг.
То же самое можно сказать про неоднократное возвращение в точку .
«Четный» случай нам не подходит, так как по условию на каждую дугу уходит целое число минут, а общее время выражается в минутах нечетным числом.
Заметим, что любая тройка нечетных положительных чисел может быть реализована в качестве числа проходов (в любом направлении) дуг 1) , 2) , 3) . Действительно, выехав из точки и сделав заданное нечетное число проходов , мы окажемся в точке , после чего, сделав заданное нечетное число проходов , мы окажемся в точке , а после заданного нечетного числа проходов - снова в точке .
Итак, попробуем найти три таких нечетных положительных числа , , , что
Для возможны варианта: , , .
Первый случай отбрасываем, так как для него получаем .
Во втором случае имеем . Если , то . При число не делится на .
Наконец, при имеем . Для получим , откуда , , а пройденный путь равен (км). Здесь - длина дуги , которую находим геометрически. (, где , , - радиусы.)