Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 4
Семейство Дурслей скрывает Гарри Поттера на острове, который находится на расстоянии км от берега. Берег прямолинейный. На берегу, в километрах от той точки берега, которая ближе всего к острову, находится Хагрид на волшебном мотоцикле, и он хочет добраться до Гарри как можно быстрее. По побережью мотоцикл едет со скоростью км/час, а над морем летит со скоростью км/час. План у Хагрида такой: сначала проехать километров по побережью, а потом взять курс напрямик на остров. Какое значение наилучшим образом подходит для целей Хагрида?
Ответ
Ответ: .
Решение. Пусть -- точка, откуда едет Хагрид, -- остров, а -- точка, где мотоцикл повернул в море. Время поездки , где , . Значит, мы стремимся минимизировать . Отметим на берегу произвольную точку , построим на как на диаметре окружность радиуса ( произвольное). Нарисуем окружность с центром в и радиусом , пусть эта окружность пересекает первую на суше в точке . На прямую опустим перпендикуляр , и он будет пересекать береговую линию в наилучшей точке .
Докажем, что минимально. Из подобия треугольников и следует, что , , то есть . Если взять на побережье любую другую точку и оценить , то получится следующее: , где -- перпендикуляр из на . А в свою очередь .
Пусть -- ближайшая к острову точка берега. Треугольники и подобны, откуда . Следовательно, и .