Ломоносов, 2022, 10 класс, задача 5
Число таково, что уравнение имеет три действительных корня . Определите, какие числовые значения может принимать выражение
Ответ
Ответ: .
Решение. Пусть . Тогда , , (это получается или по теореме Виета, или прямым сравнением левой и правой части). Далее
Осталось выяснить, при каких значениях данное кубическое уравнение имеет три различных корня. Запишем уравнение в виде и найдем экстремумы функции в правой части (например, с помощью производной, хотя можно обойтись и без неё). Получается, что эта функция имеет локальный минимум в точке и локальный максимум в точке . Это означает, что различных корня у уравнения будет при . Значит, .