Ломоносов, 2025, 11 класс, задача 7
В-1 Первооткрыватель летел над джунглями на вертолёте и заметил забытый храм инков. Храм выстроен в форме правильной усечённой пирамиды с квадратными основаниями -- сторона нижнего основания равна и.е., сторона верхней площадки равна и.е. (и.е. -- инкские единицы длины). Высоту храма путешественник измерить не сумел, поэтому посадил вертолёт на верхней площадке и начал спускаться по боковой поверхности пирамиды, начиная от угла. Спускался он не напрямую -- склон для этого слишком крут -- а наискосок, по линии, угол наклона которой к поверхности земли равен . Когда он добирался до бокового ребра, он переходил через ребро и шёл по следующей грани, под таким же углом к поверхности земли.
Он закончил спуск ровно у вершины нижнего основания пирамиды, насчитав по пути сторон (иными словами, его путь выглядит как ломаная, и в этой ломаной получилось отрезков). Какой высоты (в и.е.) был храм?
Ответ:
Решение. Пусть сторона нижнего основания пирамиды равна , сторона верхнего равна , угол спуска равен , а число пройденных граней равно .
Будем считать, что он на самом деле поднимался. Обозначим (пока нам неизвестные) величины -- высоту постройки через , угол наклона боковой стороны пирамиды к земле через . Понятно, что
Давайте взглянем на пирамиду в проекции сверху:
Заметим, что рисунки на гранях подобны друг другу -- переход по следующей грани будет равен некоторому умножить на длину перехода по предыдущей. Мы можем заметить трапеции -- с основаниями и , и , и , и так далее. У последней трапеции вершина равна . Следовательно,
Далее, введём величину , на которую он поднялся, преодолев первый отрезок пути (самый длинный.) Тогда из подобия рисунка следует, что за второй переход он добавит к высоте , за третий -- , и так далее. Следовательно,
Все величины известны, кроме .
Обозначим на пирамиде некоторые точки. Ребро основания, с которого начат подъём -- это , путь начат из . Первый отрезок пути соединяет и точку на боковом ребре. Из точки проведём в плоскости прямую, параллельно , и она пересечёт другое боковое ребро в . Получится трапеция с основаниями , . Точку ортогонально проецируем на нижнее основание, в точку -- и длина будет как раз . От точки в плоскости основания проведём перпендикуляр к стороне , и он пересечёт в точке .
Тогда: угол равен , так как падает на диагональ квадрата. , а . Сторона . Сторона . Треугольник прямоугольный, и поэтому
Выражение даст нам квадратное уравнение относительно , которое, однако, удобнее оформить как уравнение относительно .
Положительное решение такого уравнения будет равно
С другой стороны, по свойствам трапеции
Приравниваем разные выражения для . Это приведёт к уравнению
Уравнение можно решить относительно неизвестного , получится
Подставим в выражение для высоты, и в итоге получим