Ломоносов, 2026, 9 класс, задача 7

Сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиада «Ломоносов», Заключительный этап, 2026, 9 класс

Дан треугольник , вписанный в окружность с центром в точке . Угол . Центр окружности симметрично отразили относительно прямой, содержащей сторону -- получилась точка . Точку, диаметрально противоположную точке , симметрично отразили относительно прямой, содержащей сторону . Получилась точка . Оказалось, что точки , , лежат на одной прямой. Найдите угол .

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ:

Решение.

Рисунок к решению геометрической задачи

Рассмотрим треугольник . Пусть . Тогда , так как он опирается на ту же дугу. Также заметим, что . Поскольку точка симметрична точке относительно прямой , то , значит .

Поскольку , треугольник равнобедренный, и . Так как по условию , , лежат на одной прямой, то . При этом, поскольку точки , симметричны относительно прямой , то .

Тогда .

1

Критерии проверки: За арифметическую ошибку в геометрически верном рассуждении . Есть верные наблюдения, но из них не получен ответ .

0
Максимум: 0

Похожие задачи

Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 1

В-1 В бескрайних калмыцких степях мама отправила маленькую дочку навестить бабушку. У девочки не было ни навигатора, ни компаса, а только часы, которыми она еще не умела пользоваться, но у которых был ежечасный звуковой сигнал. Зная обычную скорость их любимого верблюда, мама рассчитала маршрут для
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2020, 9 класс, задача 3

В трапеции ABCD диагональ AC равна 1 и является одновременно её высотой. Из точек A и C к сторонам CD и AB соответственно проведены перпендикуляры AE и CF. Найдите AD, если AD=CF и BC=CE.
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 6

Деревья на вершинах правильного шестиугольника В-1 Баран на пастбище привязан сразу к двум деревьям, верёвками по 5 метров длиной. На пастбище есть ещё два дерева. Вместе эти деревья образуют 4 соседние вершины правильного шестиугольника со стороной в 2 метра (см. рисунок) Насколько близко он сможет
Сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 6

В остроугольном треугольнике ABC со стороной AC=1 провели высоту BH, в треугольнике BHC - биссектрису CL, в треугольнике BLC - медиану BM. Прямая AL пересекает сторону BC в точке K, причём angle BHK=angle MHC=15circ. Найдите площадь четырёхугольника KLHM.
Сложная
Планиметрия