Ломоносов, 2025, 10 класс, задача 5
В-1 На каждой стороне белого кубика сидит по жуку. Кубик бросили, и жуки переполошились -- каждый выбрал наугад одну из -х соседних граней и переполз туда.
С какой вероятностью кубик не изменит своего первоначального вида?
Ответ:
Решение. Если нарисовать на гранях кубика стрелки, направленные в сторону, куда пополз жук -- мы тем самым опишем исход броска. Всего таких исходов будет ( граней, на каждой по варианта), и они равновероятны.
Нарисуем пример на развёртке:
Какие исходы приведут нас к такому же кубику? На каждую грань должно вползать по одному жуку, то есть на каждую грань должна быть направлена ровно одна стрелка. Значит, если начать двигаться против направления стрелок -- дорогу мы найдём однозначно, «развилок» не будет, и в конце концов (так как граней на кубике конечное число) мы будем вынуждены вернуться на грань, с которой начали. Это верно для любой грани. Иными словами, рисунок из стрелок образует на сторонах кубика цикл, или несколько циклов.
Граней , поэтому длины циклов потенциально могут быть от до . Циклы в , , и жуков нарисовать получится, а вот попытка нарисовать цикл длиной приведёт к неподвижному жуку, что невозможно. Значит, правильный исход может состоять из таких циклов: , , ; , ; , ; .
Посчитаем количество возможных рисунков с такими свойствами.
, , (то есть жуки попарно меняются местами). Жук с верхней грани меняется местами с одной из боковых, а жуку с нижней остаётся всего на выбор (он не может ползти на грань, противоположную выбранной верхним жуком.) То есть таких конфигураций .
, . Цикл длиной обходит вокруг ребра куба -- по или против часовой стрелки. Оставшиеся два жука меняются местами. Значит, число таких конфигураций равно числу способов выбрать ребро (рёбер ) умножить на (по или против часовой). Значит, .
, . Цикл длиной обходит вокруг вершины, по или против часовой. Оставшиеся жука ползут так же. Верхняя грань участвует в одном из циклов, значит мы можем выбрать для неё соседние вершины, ориентации, и ещё есть ориентации для оставшихся жуков. Будет рисунков.
6. Обойдём куб по направлению стрелок. С верхней грани мы можем перейти на одну из боковых. Дальше мы можем повернуть налево, направо, или спуститься на нижнюю грань. Варианты «налево» и «направо» могут продолжится двумя способами -- либо мы идём в ту же сторону, либо спускаемся вниз. Если мы шли в ту же сторону -- дальше путь продолжается однозначно (через нижнюю грань), если спускались -- вариантов дорисовывания .
Вариант «на втором шаге мы спустились вниз» дорисовывается до полного цикла двумя способами.
Всего циклов длиной будет .
А вероятность равна