Ломоносов, 2025, 11 класс, задача 8
В-1 Через три стороны правильного -угольника проводят прямые. Стороны выбирают так, что прямые пересекаются друг с другом, и исходный многоугольник лежит внутри полученного треугольника.
Сколько попарно неравных треугольников может получиться? Равными считаются треугольники, которые можно совместить поворотом или отражением.
Ответ: .
Решение. Пусть - число сторон многоугольника. Пусть чётное.
-
Всего способов выбрать тройку сторон из имеющихся будет . Правда, не каждая тройка порождает треугольник, и разные тройки могут порождать одинаковые по форме фигуры. Для правильного подсчёта нам понадобится различать равносторонние, равнобедренные и остальные треугольники, так как у них разное количество симметрий.
-
Давайте считать, что расположены против часовой стрелки. Первую сторону треугольника можно выбрать способами. Пометим параллельную сторону красным. Для выбора второй стороны отсчитываем сторон от , где . Помечаем параллельную сторону синим. Для выбора остаются только стороны между красной и синей сторонами - и вариантов выбора будет ровно .
Значит, всего треугольников будет
- Сколько будет равнобедренных (но не равносторонних) треугольников? Получим
- Равносторонний треугольник можно выбрать, если делится на . Таких треугольников будет штук. Если на не делится, то их не будет.
Значит, у нас есть неравнобедренных, равнобедренных неравносторонних и равносторонних треугольников.
Теперь учтём повороты и отражения. Равносторонний треугольник на самом деле единственный. Каждый равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет равных себе, полученных поворотами. Неравнобедренный треугольник можно поворачивать способами и отражать, что даёт равных ему.
Значит, ответ (в общем случае при чётном ) равен
Для разных вариантов:
- , , , , , ответ равен .
- , , , , , ответ равен .
- , , , , , ответ равен .
- , , , , , ответ равен .