Ломоносов, 2026, 10 класс, задача 3

Очень сложная

Источник:

Олимпиада «Ломоносов», Заключительный этап, 2026, 10 класс

Дан треугольник , вписанный в окружность с центром в точке . Угол . Центр окружности симметрично отразили относительно прямой, содержащей сторону — получилась точка . Точку, диаметрально противоположную точке , симметрично отразили относительно прямой, содержащей сторону . Получилась точка . Оказалось, что точки , , лежат на одной прямой. Найдите угол .

Ответ:

Решение.

Рисунок к решению геометрической задачи

Рассмотрим треугольник . Пусть . Тогда , так как он опирается на ту же дугу. Также заметим, что . Поскольку точка симметрична точке относительно прямой , то , значит .

Поскольку , треугольник равнобедренный, и .

Так как по условию , , лежат на одной прямой, то . При этом, поскольку точки , симметричны относительно прямой , то .

Тогда .

Критерии проверки: За арифметическую ошибку в геометрически верном рассуждении . Есть верные наблюдения, но из них не получен ответ .

Максимум: 0

Похожие задачи

Ломоносов, 2024, 10 класс, задача 4

В-1 На стороне AC треугольника ABC отмечены такие точки M и N, что angle ABM = 15^circ, angle MBN = 45^circ и angle NBC = 75^circ, а сумма и произведение площадей треугольников ABM и NBC равны 5 и 3 соответственно. Найдите площадь треугольника ABC.

Очень сложная

Планиметрия

Ломоносов, 2023, 11 класс, задача 4

В-1 Две стороны выпуклого четырехугольника имеют длину 6, ещё одна -- длину 1, а его площадь -- наибольшая возможная при таких условиях. Какова длина четвертой стороны четырехугольника?

Очень сложная

Планиметрия

Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 4

В-1 Две кольцевые трассы α и β одинакового радиуса касаются друг друга. По трассе α по часовой стрелке едет автомобиль A, по трассе β против часовой стрелки едет автомобиль B. В момент старта автомобили A и B находятся на одной прямой с центром трассы α, причём эта прямая касается трассы β. После ст

Очень сложная

Планиметрия

Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 4

В-1 Пловец решил переплыть реку. Сначала он взял направление перпендикулярно течению -- и течение снесло его на 12 метров. Оттуда он решил вернуться туда, откуда начал -- он взял направление на точку, из которой началось плавание, и теперь течение снесло его на 20 метров от желаемой точки. Найдите ш

Очень сложная

Планиметрия