Ломоносов, 2025, 9 класс, задача 5
В-1 Найдите все значения , при каждом из которых оси координат и гипербола
высекают на прямой три отрезка равной длины.
Ответ:
Решение. Достаточно рассмотреть случай , так как в силу симметрии любое противоположное значение также удовлетворяет условию задачи. Прямая пересекает оси координат в точках и , а гиперболу -- в точках и , где , -- корни уравнения , (случай, когда уравнение имеет меньше двух корней, очевидно, не подходит). Это уравнение равносильно квадратному уравнению
По условию , поэтому . Отсюда находим , . По теореме Виета , откуда , тогда , . Конечно, ещё нужно проверить, что уравнение имело корни, и это показывает. Ответ .