Ломоносов, 2025, 10 класс, задача 8
В-1 Вася нарисовал на доске замкнутую кривую , состоящую из четырех звеньев: -- дуга окружности, меньшая полуокружности, -- отрезок, -- дуга окружности, большая полуокружности, -- отрезок, таким образом, что любые два соседних звена перпендикулярны друг другу. Петя нарисовал кривую данного вида так, чтобы длины всех звеньев совпадали.
Какие тогда будут углы у дуг и ?
Примечание: прямая перпендикулярна дуге окружности, если прямая перпендикулярна касательной к окружности.
Ответ: и , или и .
Решение. Так как перпендикулярно дуге , то радиус окружности, на которой лежит дуга, лежит на прямой . Аналогично, на прямой лежит радиус окружности, содержащей дугу -- и одновременно радиусы обеих окружностей лежат на прямой . Из-за того, что дуги не равны полуокружностям по условию, прямые и пересекаются -- и вместе всё это значит, что окружности имеют общий центр.
Также есть требование, что одна дуга больше полуокружности, а другая -- меньше. С учётом того, что мы хотим получить равные длины всех звеньев ломаной, большая полуокружность должна быть у окружности меньшего радиуса, что оставляет нас с двумя вариантами ломаной:
Пусть . Пусть радиус меньше. Обозначим -- центр окружности, содержащей дугу , -- ее радиус, -- угол .
В первом случае -- с одной стороны, . С другой стороны . Таким образом,
Будем решать это уравнение как квадратное относительно . Имеем . Отсюда
Один корень отрицательный, а вот второй больше нуля (т.к. ).
То есть
У второй дуги угол равен .
Рассмотрим второй случай (когда кривая самопересекающаяся). - радиус большей окружности, - меньшей. .
Тогда, дуга . А дуга . .
Тогда получим следующую систему:
Тогда имеем
Получим следующее квадратное уравнение
где положительный дискриминант равен . Тогда имеем два решения
Очевидно, что , а . Тогда получим второй вариант угла