Ломоносов, 2025, 10 класс, задача 2

Очень сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиада «Ломоносов», Заключительный этап, 2025, 10 класс

В-1 Биссектрисы треугольника пересекаются в точке . Прямая пересекает описанную окружность треугольника в точках и . Найдите длину секущей , если , , и .

Ответ:

Решение.

Рисунок к решению задачи 2

Так как

то (где -- радиус описанной около треугольника окружности).
Также

Поэтому

Похожие задачи

Ломоносов, 2024, 10 класс, задача 7

В-1 Старинный подземный ход имеет свод параболической формы (то есть в поперечном сечении туннель ограничен полом - осью Ox и графиком некоторой параболы y = a - bx2). Ширина туннеля (измеряется по полу) равна 24, высота туннеля равна 18. Ход укрепили распорками - на параболе отметили точ
Очень сложная
Алгебра
Планиметрия

Ломоносов, 2026, 10 класс, задача 6

В треугольнике ABC равны углы angle A=angle C=32circ. Внутри треугольника выбрана такая точка O, что угол BCO в 2 раза больше угла BAO, а угол OBC в 3 раза больше угла ABO. Во сколько раз угол BOA больше, чем угол BAO?
Очень сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 6

В-1 Старинный подземный ход имеет свод параболической формы (то есть в поперечном сечении туннель ограничен полом - осью Ox и графиком некоторой параболы y = a - bx2). Ширина туннеля (измеряется по полу) равна 24, высота туннеля равна 18. Ход укрепили распорками - на параболе отметили точ
Очень сложная
Алгебра
Планиметрия

Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 8

В-1 Сколько точек пространства с целочисленными координатами принадлежат треугольнику с вершинами (3, 4, 5), (11, 10, 6), (5, 8, 9)? Точки на вершинах и сторонах тоже считаются.
Очень сложная
Теория чисел
Планиметрия