Ломоносов, 2025, 10 класс, задача 6
В-1 На чертеже есть парабола и три точки , , . Из каждой точки к параболе проведены две перпендикулярные друг другу касательные. Расстояние от вершины параболы до прямой равно . Найдите площадь треугольника , если , a .
Ответ: или
Решение. Пусть уравнение параболы . Через точку проходит прямая . Эта прямая будет касаться параболы в том случае, если она не параллельна оси параболы (т.е. ) и имеет с параболой единственную общую точку -- то есть уравнение
должно иметь единственное решение относительно переменной .
Уравнение квадратное -- значит, для единственности решения нужно, чтобы дискриминант равнялся нулю.
дискриминант равен
и он, в свою очередь, тоже образует квадратное уравнение, но для переменной .
Угловые коэффициенты , перпендикулярных прямых относятся так: . Значит, если из одной точки получилось провести перпендикулярные касательные к параболе, то уравнение имеет такие корни , , что , а по теореме Виета это значит, что .
То есть , и провести перпендикулярные касательные к параболе получится только из точек, лежащих на прямой . Точки , , лежат на одной прямой, и расстояние до этой прямой от точки известно из условия. Учитывая, что располагаться на прямой , , могут в разном порядке, мы получаем два возможных варианта ответа: и .