Ломоносов, 2025, 10 класс, задача 4

Ответ: , , ,

Решение. Наше уравнение может быть записано в виде

и, если к нему добавить условие попадания в промежуток , равносильно системе неравенств

Рассмотрим множество, которое задавается этими неравенствами на плоскости с координатами и .

Графики функций и пересекаются в двух точках: и . Функция выпукла вниз, поэтому при она больше функции , а при -- меньше. Каждому соответствует одна горизонтальная прямая на плоскости, и нас интересует, когда эта прямая пересекается с рассматриваемым множеством ровно в одной точке. Как видим, это имеет место при следующих значениях параметра :
(при этом ), (при этом ), (при этом ) и (при этом ).