Ломоносов, 2025, 11 класс, задача 3
В-1 В окружность радиуса вписан четырёхугольник, три стороны которого равны . Найдите максимально возможную площадь такого четырёхугольника.
Ответ
Ответ:
Решение. Решим задачу в общем случае. Обозначим четырехугольник . Пусть ; . В такой конфигурации угол между сторонами и равен . Угол , как противолежащий. Диагональ . Из теоремы синусов для треугольника следует, что угол равен (угол острый, т.к. иначе , и сумма углов треугольника будет больше ). Значит, угол равен . Площадь четырехугольника можно вычислить, как сумму площадей треугольников и :
Возможна другая конфигурация: ; . В этом случае четырехугольник -- равнобочная трапеция с углом при основании . Тогда высота , и площадь трапеции равна
Оба варианта одинаковые, в ответ идёт .
Другой способ решения. Соединим вершины четырехугольника с центром окружности. Получается, что четырехугольник составлен из двух правильных треугольников со стороной 3 (площадь каждого из которых равна одного прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой (площадь равна ) и одного равнобедренного треугольника со сторонами и и углом между ними (площадь равна ). Суммарная площадь равна , вне зависимости от того, в каком порядке они расположены.