Ломоносов, 2023, 9 класс, задача 3

Сложная

Источник:

Олимпиада «Ломоносов», Заключительный этап, 2023, 9 класс

В-1 Для укладки пола в квадратной комнате купили одинаковые квадратные плитки. плиток оказались разбитыми. Оставшимися плитками выложили пол в другой комнате прямоугольной формы, в длину которой укладывается на плиток больше, чем в ширину. Сколько плиток было куплено?

Ответ:

Решение. Пусть купили плиток, в ширину прямоугольной комнаты укладывается плиток. Тогда верно равенство

Дискриминант квадратного уравнения относительно равен . Чтобы уравнение имело целое решение, число должно быть нечетным квадратом, т. е.

откуда . Т.к. -- простое число, то и , откуда , .

Критерии проверки: Арифметическая ошибка 10 Уравнение составлено, но не решено 5

Максимум: 15

Похожие задачи

Ломоносов, 2020, 9 класс, задача 6

Найдите разложение на простые множители наименьшего натурального числа, имеющего ровно 2020 различных натуральных делителей.

Сложная

Теория чисел

Ломоносов, 2022, 9 класс, задача 1

На гранях шестигранного игрального кубика расставлены числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Кубик бросают, и он падает на стол. После этого видны числа на всех гранях, кроме одной. Числа на пяти видимых гранях перемножаются. Найдите вероятность того, что это произведение делится на 16.

Сложная

Теория чисел

Ломоносов, 2021, 9 класс, задача 2

Сколько существует делителей числа 2021²⁰²¹, кубический корень из которых является натуральным числом?

Сложная

Теория чисел

Ломоносов, 2026, 9 класс, задача 2

Найдите все четырёхзначные натуральные числа n, обладающие свойством, что первые несколько цифр числа n² образуют число n. Если таких чисел несколько, в ответ запишите наименьшее из них, если таких чисел нет, в ответ запишите 0.

Сложная

Теория чисел