Ломоносов, 2026, 9 класс, задача 2
Найдите все четырёхзначные натуральные числа , обладающие свойством, что первые несколько цифр числа образуют число . Если таких чисел несколько, в ответ запишите наименьшее из них, если таких чисел нет, в ответ запишите .
Ответ
Ответ:
Решение. Решим задачу в общем виде: будем искать -значные числа . Тогда . Для числа справедливы неравенства , то есть -- это , или -значное число.
Допустим, что это -значное число. Тогда (мы дописали к -значному ещё чисел. Самый минимальный по значению вариант -- приписать нулей, что значит просто домножить на ). Но тогда получается, что , это противоречие с тем, что в всего цифр.
Значит, есть -значное число.
Согласно условию выполнено равенство , где -- -значное число. Перепишем последнее равенство в виде . Рассмотрим случаи:
) если , то в последнем равенстве слева стоит по крайней мере -значное число, а справа -- -значное, что невозможно;
) следовательно , т.е. .
Для четырёхзначных чисел ответ: .
Критерии проверки: Правильный ответ, обоснование с изъянами . Правильный ответ без попыток обоснований, что найдены все четырехзначные натуральные числа .