Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 7
В-1 Пусть означает сумму цифр натурального числа . Найти наибольшее -значное натуральное число , удовлетворяющее условию: для всех натуральных () справедливы равенства .
Ответ: .
Решение. Найдем все натуральные числа с таким свойством. Среди однозначных чисел таким свойством, очевидно, обладает , и несложно проверить, что также обладает таким свойством.
Пусть - -разрядное число (). Тогда . Очевидно, что число вида не обладает этим свойством. Рассмотрим . Тогда для должно выполняться равенство
Пусть - старшая цифра числа . Тогда
и равенство возможно только если . Так как у цифра уже стоит в старшем разряде, это возможно только если число переходит в следующий разряд, т. е. имеет вид (). Так как , то и имеют одинаковый остаток при делении на , а значит делится на .
Несложно проверить, что для выполнено .