Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 2

Очень сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиада «Ломоносов», Заключительный этап, 2024, 11 класс

В-1 Живописец закрасил акварелью полумесяц на клетчатой бумаге. Контур полумесяца состоит из двух дуг - одна от окружности с центром в , проходящей через , другая - от окружности с центром в , проходящей через .

Полумесяц к условию задачи 2

К утру краска расплылась так, что каждая точка полумесяца превратилась в круг радиуса . Найдите площадь получившейся фигуры.

Ответ:

Решение. Пусть рисунок расплылся на радиус . К площади полумесяца прибавятся «поля», которые можно разбить на левое, правое и два закругления на концах рогов.

Расплывшийся полумесяц к решению задачи 2

Площадь полумесяца равна половине площади круга радиуса минус сегмент круга радиуса .

Площадь левого поля - половина от площади кольца с радиусами и .

Площадь правого поля - четверть от площади кольца с радиусами и .

Закругления на концах рогов вместе составляют три четверти окружности радиуса .

Вместе получается:

Похожие задачи

Ломоносов, 2026, 11 класс, задача 7

В-1 Вовочке вместо обычной тетради в клетку досталась тетрадь, у которой линии сетки являются параболами вида y=pm x2+c, где c∈mathbb Z. Система координат, в которой написаны эти уравнения, имеет начало в центре листа, её оси параллельны его сторонам, а единичный отрезок равен 1 см. Разме
Очень сложная
Алгебра
Планиметрия

Ломоносов, 2020, 10 класс, задача 6

На биссектрисе угла BAC треугольника ABC отмечена точка M, а на продолжении стороны AB за точку A -- точка N так, что AC=AM=1 и angle ANM=angle CNM. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника CNM.
Очень сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2026, 11 класс, задача 6

В-1 Рисунок (вид сверху) изображает такую ситуацию: Вид сверху: забор и траектория светлячка Ночь. На пустыре стоит секция сплошного забора высотой 2 метра (чёрная линия снизу). На постоянной высоте 6 метров из точки A в точку B (стрелка) летит очень яркий светлячок. Назовём точку на земле затенённо
Очень сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2026, 10 класс, задача 6

В треугольнике ABC равны углы angle A=angle C=32circ. Внутри треугольника выбрана такая точка O, что угол BCO в 2 раза больше угла BAO, а угол OBC в 3 раза больше угла ABO. Во сколько раз угол BOA больше, чем угол BAO?
Очень сложная
Планиметрия