Ломоносов, 2024, 10 класс, задача 2

Очень сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиада «Ломоносов», Заключительный этап, 2024, 10 класс

В-1 Живописец закрасил акварелью полумесяц на клетчатой бумаге. Контур полумесяца состоит из двух дуг - одна от окружности с центром в , проходящей через , другая - от окружности с центром в , проходящей через .

Полумесяц к условию задачи 2

К утру краска расплылась так, что каждая точка полумесяца превратилась в круг радиуса . Найдите площадь получившейся фигуры.

Ответ:

Решение. Пусть рисунок расплылся на радиус . К площади полумесяца прибавятся «поля», которые можно разбить на левое, правое и два закругления на концах рогов.

Расплывшийся полумесяц к решению задачи 2

Площадь полумесяца равна половине площади круга радиуса минус сегмент круга радиуса .

Площадь левого поля - половина от площади кольца с радиусами и .

Площадь правого поля - четверть от площади кольца с радиусами и .

Закругления на концах рогов вместе составляют три четверти окружности радиуса .

Вместе получается:

Похожие задачи

Ломоносов, 2024, 10 класс, задача 4

В-1 На стороне AC треугольника ABC отмечены такие точки M и N, что angle ABM = 15circ, angle MBN = 45circ и angle NBC = 75circ, а сумма и произведение площадей треугольников ABM и NBC равны 5 и 3 соответственно. Найдите площадь треугольника ABC.
Очень сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2024, 11 класс, задача 8

В-1 Сколько точек пространства с целочисленными координатами принадлежат треугольнику с вершинами (3, 4, 5), (11, 10, 6), (5, 8, 9)? Точки на вершинах и сторонах тоже считаются.
Очень сложная
Теория чисел
Планиметрия

Ломоносов, 2023, 10 класс, задача 4

В-1 Пловец решил переплыть реку. Сначала он взял направление перпендикулярно течению -- и течение снесло его на 12 метров. Оттуда он решил вернуться туда, откуда начал -- он взял направление на точку, из которой началось плавание, и теперь течение снесло его на 20 метров от желаемой точки. Найдите ш
Очень сложная
Планиметрия

Ломоносов, 2020, 10 класс, задача 6

На биссектрисе угла BAC треугольника ABC отмечена точка M, а на продолжении стороны AB за точку A -- точка N так, что AC=AM=1 и angle ANM=angle CNM. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника CNM.
Очень сложная
Планиметрия