Ломоносов, 2026, 10 класс, задача 2
Дан клетчатый квадрат с занумерованными клетками. Из него нужно вырезать клетчатый прямоугольник меньшего размера так, чтобы квадрат не распался на две части и у оставшейся фигуры не было дырки внутри. Разрезы можно проводить только по линиям сетки. Сколькими способами можно это сделать?
Ответ:
Решение. Решим задачу в общем виде — для квадрата .
Первый способ. Прямоугольник однозначно определяется двумя горизонталями и двумя вертикалями, но он не может совпадать со всем квадратом. Значит, всего способов выбрать прямоугольник . Вычтем неподходящие случаи. Чтобы получилась дырка внутри, нужно вырезать прямоугольник из «внутреннего» квадрата : получаем способов. Чтобы квадрат распался на две части, нужно резать по двум горизонталям или по двум вертикалям: получаем способов. Вычитая не подходящие способы, получаем
Второй способ. Прямоугольник, который нужно отрезать, будет касаться одной, двух или трёх сторон квадрата. Рассмотрим все эти случаи. Если прямоугольник касается одной стороны, то будет способа выбрать сторону. Допустим, это нижняя сторона. Далее, есть способов выбрать вертикали и способа выбрать горизонталь. Всего способов. Если прямоугольник касается двух сторон, то будет способа выбрать их, способов выбрать горизонталь и способов выбрать вертикаль. Всего способов. Если прямоугольник касается трёх сторон, то будет способа выбрать эти стороны и способов выбрать линию разреза. Всего способов. Складывая все способы, получаем .
Подставляя в полученное выражение , получаем ответ: способов.
Критерии проверки: Верные с комбинаторной точки зрения рассуждения, но при подсчёте совершена арифметическая ошибка . В целом верные с комбинаторной точки зрения рассуждения, но упущен какой-нибудь случай (например, прямоугольник, касающийся трёх сторон) .