Ломоносов, 2020, 10 класс, задача 5

Очень сложная

Источник:

Олимпиада «Ломоносов», Заключительный этап, 2020, 10 класс

Докажите, что уравнение

имеет по крайней мере корней, принадлежащих отрезку .

Доказательство. Имеем . На отрезке функция принимает только значения из отрезка

Поэтому (в силу непрерывности всех упомянутых функций) на каждом отрезке монотонности функции , длина которого равна полупериоду этой функции, то есть , уравнение имеет по крайней мере один корень (на самом деле ровно один, но для строгого доказательства нужны оценки производных). В отрезок таких отрезков умещается по крайней мере корней.

Похожие задачи

Ломоносов, 2026, 11 класс, задача 7

В-1 Вовочке вместо обычной тетради в клетку досталась тетрадь, у которой линии сетки являются параболами вида y=pm x²+c, где c∈mathbb Z. Система координат, в которой написаны эти уравнения, имеет начало в центре листа, её оси параллельны его сторонам, а единичный отрезок равен 1 см. Разме

Очень сложная

Алгебра

Планиметрия

Ломоносов, 2025, 11 класс, задача 2

В-1 Укажите наименьшее положительное значение a, при котором неравенство 2^{5 - (1/x)} ≥ a + sin 2^x не имеет ни одного решения x > 0.

Очень сложная

Алгебра

Ломоносов, 2025, 10 класс, задача 1

В-1 Решите неравенство √(log₂² x + 3log₂ x - sqrt{log₂² x + 3log₂ x - 4)} ≥ log₂ x + 1. В ответ запишите сумму всех целых значений функции f(x₀) = 16x₀, где x₀ -- решение неравенства.

Очень сложная

Алгебра

Ломоносов, 2021, 10-11 класс, задача 1

В-1 Найдите f(1)+f(2)+f(3)+ldots+f(13), если f(n)=4n³-6n²+4n+13.

Очень сложная

Алгебра