Ломоносов, 2020, 10 класс, задача 5
Докажите, что уравнение
имеет по крайней мере корней, принадлежащих отрезку .
Ответ
Доказательство. Имеем . На отрезке функция принимает только значения из отрезка
Поэтому (в силу непрерывности всех упомянутых функций) на каждом отрезке монотонности функции , длина которого равна полупериоду этой функции, то есть , уравнение имеет по крайней мере один корень (на самом деле ровно один, но для строгого доказательства нужны оценки производных). В отрезок таких отрезков умещается по крайней мере корней.