МОШ 2026, 10 класс, задача 4
На стороне треугольника выбраны точки и так, что . На отрезках , , и выбраны точки , , и (все точки , , , , , , , , различные) соответственно так, что
Докажите, что .
Решение. Сначала покажем, что . Приведём два возможных способа.
Способ №1. Треугольники и подобны, т.к. и . Отсюда следует, что , то есть . При это , поэтому . В таком случае треугольники и также подобны, т.к. и . Из этого подобия следует равенство .
По условию , поэтому четырёхугольник — вписанный. Получаем цепочку равенств . Тогда , поэтому .
Способ №2. Продлив отрезок за точку на его длину, получим такую точку на луче , что , тогда — четырехугольник, в котором диагонали делятся точкой пересечения пополам, а значит, параллелограмм. Из параллельности ясно, что . Четырехугольник — вписанный, поскольку , то есть точка лежит на описанной около окружности. Четырехугольник — вписанный, поскольку , то есть точка лежит на описанной около окружности. Значит, точки , , , лежат на одной окружности, и четырехугольник с параллельными сторонами и — равнобедренная трапеция или прямоугольник, тогда . Получаем требуемое.
Теперь приведём оставшуюся часть решения задачи. Аналогично равенству доказывается равенство . Из условия следует, что отрезки и пересекаются (действительно, и лежат с одной стороны от биссектрисы , а и — с другой). Тогда неравенство следует из того, что сумма диагоналей четырехугольника больше суммы его противоположных сторон и .
