Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 10

На гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника отмечены точки и ( лежит между и ) такие, что . Найдите наименьшее возможное значение радиуса описанной около треугольника окружности.

Ответ

Ответ. .

Решение. Обозначив , и применяя теорему синусов к треугольникам и , находим, что

Тогда

Подставляя длины отрезков в равенство и упрощая, получаем , поэтому . Значит, , и искомый радиус есть

Похожие задачи

Физтех 2024, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 7

В треугольнике ABC проведены высота AH и биссектриса AD. Точка H лежит между точками B и D. Найдите sinangle HAD, если BH=1, HD=3, CD=12.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 8

Окружности ω₁ и ω₂ имеют радиусы 5 и 8, а расстояние между их центрами больше 13. Оказалось, что их общие внутренние касательные перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, ограниченного одной общей внешней и двумя общими внутренними касательными к этим окружностям.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2025, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 7

В треугольнике PQR на стороне PQ выбрана точка K, а на стороне QR — точка L. Отрезки PL и KR пересекаются в точке T. Чему равна площадь треугольника PQR, если S_PKT=10, S_PTR=11, S_RTL=12?

Сложная

Планиметрия

Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, третий тур, задача 8

В треугольной пирамиде ABCD углы ACB, BCD и ACD прямые. На рёбрах CD, AC и BD отмечены точки P, Q и R соответственно, причём dfrac{DP}{DC}=dfrac{AQ}{AC}=dfrac13, dfrac{DR}{DB}=dfrac12. Найдите площадь сечения пирамиды ABCD плоскостью PQR, если известно, что AC=3, BC=4, а угол между плоскостью PQR и

Сложная

Планиметрия