Физтех 2024, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 10
За круглый стол сели мудрецов. Каждый из них взял карточку и записал на ней целое ненулевое число. Оказалось, что у каждого мудреца число на карточке больше произведения чисел на карточках трёх ближайших мудрецов, сидящих справа от него. Какое наибольшее количество положительных чисел может быть выписано на карточках мудрецов?
Ответ
Ответ. .
Решение. У трёх мудрецов, сидящих подряд, числа на карточках не могут быть одновременно положительными. В противном случае у мудреца, сидящего справа от этих трёх (четвёртого), число на карточке было бы больше. У пятого мудреца число должно было бы быть ещё больше и т. д. А так как мудрецы сидят по кругу, мы бы пришли к противоречию. Таким образом, у любой тройки мудрецов, сидящих подряд, на карточках записано не более двух положительных чисел. Разбив мудрецов на тройки, получаем, что карточек с положительными числами не больше .
карточек с положительными числами может быть, например, если у мудрецов карточки с числами , , , , , , .