СПбГУ 2022, отборочный этап, 8–9 классы, задача 12

( баллов) Пять мальчиков играли в слова: каждый из них написал по различных слов. Оказалось, что у каждого мальчика есть ровно по слова, которые не встречаются ни у одного из остальных мальчиков. Какое наибольшее количество различных слов могли суммарно написать мальчики?

Ответ

Ответ: .

Решение: Всего было написано слов. Поскольку каждый мальчик написал ровно слова, которые не встречались ни у одного из остальных мальчиков, то таких неповторяющихся слов было суммарно написано . Из оставшихся слов (повторяющихся) каждое было написано хотя бы дважды. Следовательно, их не более , а общее количество слов не превосходит .

Пример распределения повторяющихся слов ():

Пример распределения повторяющихся слов

Верное решение

Максимум: 40

Похожие задачи

СПбГУ 2026, отборочный этап, 8-9 классы, задача 3

(20 баллов) Король ходит по клетчатой доске 8 × 8. Он начинает в левом нижнем углу, а должен закончить в правом верхнем, смещаясь за один ход ровно на одну клеточку. Ему запрещено возвращаться на ту клеточку, где он уже был до этого, а также переходить в более левые столбцы. Другими словами, король

Сложная

Комбинаторика

СПбГУ 2023, отборочный этап, 8–9 классы, задача 7

(40 баллов) На доске написаны числа 1², 2², 3²,..., 1000². Двое игроков по очереди стирают по одному из чисел на доске до тех пор, пока на доске не останется всего два числа. Если разность этих двух чисел делится на 13, то выигрывает второй игрок, иначе —

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2024, отборочный этап, 10–11 классы, задача 6

(40 баллов) На доске написаны числа 1, 2, 3,..., 2023. Раз в минуту к доске подбегает Жора. Он выбирает некоторое натуральное число k, но не обязательно написанное на доске. После этого каждое число на доске, не меньшее k, уменьшает на k. После нескольких операций на доске осталось ровно одно ненуле

Сложная

Комбинаторика

СПбГУ 2022, отборочный этап, 10–11 классы, задача 13

(40 баллов) В лагерь приехали 90 школьников. Известно, что среди любых 10 школьников обязательно найдутся два друга. Скажем, что группа школьников образует цепочку дружб, если детей в группе можно занумеровать числами от 1 до k так, что 1-й и 2-й — друзья, 2-й и 3-й — друзья, ldots, (k-1)-й и k-й —

Сложная

Комбинаторика