СПбГУ 2025, 8–9 классы, задача 9
( баллов) В вершинах правильного -угольника расположены целые числа, сумма которых равна . Два игрока по очереди берут себе по одному числу.
- Первый игрок начинает, выбирая любое число.
- Со второго хода разрешается брать числа только из вершин, соседних с теми, откуда уже были взяты числа.
После ходов каждый игрок подсчитывает сумму своих чисел. Побеждает тот, у кого сумма больше.
Верно ли, что первый игрок всегда сможет выиграть, каким бы ни было начальное распределение чисел и как бы ни играл второй игрок?
Ответ
Ответ: Да, верно.
Решение. Покрасим числа в вершинах -угольника в шахматном порядке; получится чёрных и белых чисел. Поскольку сумма всех чисел нечётная (равна ), то суммы только чёрных и только белых не могут быть одинаковыми, то есть какая-то из них больше. Пусть сумма белых чисел больше суммы чёрных чисел. Тогда первый игрок должен первым ходом выбрать какое-либо из белых чисел, вынуждая второго игрока выбирать только из чёрных. После хода второго игрока, выбравшего одно из чёрных, соседними с уже выбранными будут оставшееся чёрное и новое белое. Таким образом, первый игрок опять может выбрать белое число. Поступая так на протяжении всей игры, первый игрок возьмёт себе все белые числа, а все чёрные достанутся второму игроку. Поскольку сумма белых больше, то победит первый игрок.
Верное решение