СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 13
( баллов) Несколько экспертов оценивают фильмов оценками от до . Известно, что для любых двух экспертов найдётся хотя бы два фильма, за каждый из которых эксперты поставили разные оценки. Какое наибольшее число экспертов может быть?
Ответ
Ответ: .
Решение. Оценка. Каждый фильм можно оценить -ю способами (от до ). Поэтому всевозможных наборов оценок для первых четырёх фильмов — . Покажем, что количество экспертов не может быть больше этого числа: если бы экспертов было больше, то по принципу Дирихле нашлись бы двое из них, чьи оценки первых четырёх фильмов идентичны; а, значит, могут различаться только оценки пятого фильма. А это противоречит условию о том, что любая пара экспертов отличается в оценках как минимум двух фильмов.
Пример. Рассмотрим все наборы оценок, сумма которых делится на . Таких наборов ровно , так как для каждого способа выбрать первые оценки есть ровно один способ дополнить их пятой оценкой до суммы, кратной . Любые два такие набора отличаются хотя бы в двух позициях, так как если совпали позиции и сумма по модулю , то совпала и пятая позиция.
Верное решение