СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 1
(10 баллов) Арендатору в квартире нужны 152 розетки, а пока есть только 9. Арендодатель предлагает просто купить побольше удлинителей. В магазине продаются удлинители на 9 розеток за 810 рублей, удлинители на 5 розеток за 400 рублей, удлинители на 8 розеток за 700 рублей. Какое наименьшее количествоСПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 2
(10 баллов) Натуральные числа a и b таковы, что ab>127a+534b. При каком наибольшем натуральном N можно утверждать, что хотя бы одно из чисел a и b не меньше N?СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 3
(10 баллов) У натурального числа N ровно 4 натуральных делителя, при этом какие-то два из них отличаются на 157. Чему может быть равно N? Если вариантов ответа несколько, в ответе укажите их сумму.СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 4
(20 баллов) Найдите все натуральные числа N, для которых выполнено равенство operatorname{НОК}(5040,N)=operatorname{НОД}(5040,N)+100080. В ответе укажите сумму всех подходящих значений. В частности, если таких чисел нет, укажите 0, а если оно только одно — его самого.СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 5
(20 баллов) 13 детей получили суммарно 1144 конфеты, причём количества конфет, полученных детьми, — последовательные натуральные числа. Раз в минуту один из детей, кто может отдать каждому из остальных детей по конфете, делал это (если таких детей было несколько, то делал только один из них). Через СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 6
(20 баллов) Равносторонний треугольник разбит на 1004 меньших равносторонних треугольника, из которых ровно 1003 имеют сторону 1. Найдите все возможные значения, которые может принимать сторона исходного треугольника. Если вариантов ответа несколько, в ответе укажите их сумму.СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 7
(30 баллов) Дан вписанный четырёхугольник ABCD. На отрезках AC и BD нашлись такие точки X и Y соответственно, что XA=XB и YD=YC. Докажите, что XYparallel AD. Чертёж к задачеСПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 8
(30 баллов) Пусть AL — биссектриса треугольника ABC. Точки K и M на отрезках CL и AC таковы, что KMparallel AB. Найдите длину отрезка KL, если KM=5, AM=8, AB=7, BL=(32/5). Чертёж к задачеСПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 9
(30 баллов) В треугольнике ABC проведены высота CF и медиана BM. Известно, что angle MBC=angle FCA и BM=CF. Верно ли, что треугольник ABC — равносторонний?СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 10
(30 баллов) На стороне AD вписанного четырёхугольника ABCD нашлась точка P такая, что angle APC=angle ABP=90circ и BPparallel CD. Пусть M — середина PD. Докажите, что angle ACM=90circ. Чертёж к задачеСПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 11
(40 баллов) На доске написано число frac1n. Один ход состоит в том, что к числителю и знаменателю дроби прибавляется по 1, после чего дробь сокращают (конечно, если она сократима). Может ли второе сокращение произойти ровно на 77-м ходу?СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 12
(40 баллов) Для любых натуральных чисел a>b докажите, что operatorname{НОД}(a-1,b+1) · operatorname{НОД}(a,b)≤ a+b.СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 13
(40 баллов) Несколько экспертов оценивают 5 фильмов оценками от 0 до 10. Известно, что для любых двух экспертов найдётся хотя бы два фильма, за каждый из которых эксперты поставили разные оценки. Какое наибольшее число экспертов может быть?СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 14
(40 баллов) Существует ли натуральное число n, для которого числа n4+4 и (n+2)4+4 взаимно просты?СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 15
(40 баллов) Числа от 1 до 2568 расположены в строку в порядке убывания. За один ход разрешается либо: поменять местами любое чётное число с соседним; либо, если подряд идут три нечётных числа, поменять местами первое и третье из них. Можно ли с помощью таких действий переставить числа так, чтобы ониСПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 16
(40 баллов) В компании из 734 человек некоторые пары людей враждуют между собой (вражда взаимна). Известно, что у каждого в компании не более 19 врагов. Докажите, что можно разбить всех людей на не более чем 5 групп так, что количество пар врагов, оказавшихся в одной группе, будет не более 1101.
