СПбГУ 2025, отборочный этап, 8–9 классы, задача 6

( баллов) В параллелограмме точка — середина стороны . На стороне нашлась точка такая, что . Известно, что , а . Найдите длину отрезка .

Чертёж к задаче

Ответ

Ответ: .

Решение. Продлим прямую за точку до пересечения с прямой . Точку пересечения обозначим за . Треугольники и равны (так как , как вертикальные, как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей ). Следовательно, .

По условию . Отсюда получаем, что как смежные с равными. Получаем, что треугольник равнобедренный с основанием ; следовательно, .

Поскольку прямые и параллельны (из условия), то треугольники и подобны по трём углам, а так как , то есть коэффициент подобия равен . Поэтому . Отсюда получаем, что .

Верное решение

Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2023, отборочный этап, 8–9 классы, задача 5

(30 баллов) Точка M — середина стороны BC треугольника ABC. На отрезке AC нашлась такая точка D, что DM и BC перпендикулярны. Отрезки AM и BD пересекаются в точке X. Оказалось, что AC=2BX. Докажите, что X — середина отрезка AM. Чертёж к задаче

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2022, отборочный этап, 8–9 классы, задача 7

(30 баллов) На стороне AC треугольника ABC, в котором angle ACB=45^circ, отмечена точка K такая, что AK=2KC. На отрезке BK нашлась такая точка S, что ASperp BK и angle AKS=60^circ. Докажите, что AS=BS. Чертёж к задаче

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2025, отборочный этап, 10–11 классы, задача 6

(20 баллов) Равносторонний треугольник разбит на 1004 меньших равносторонних треугольника, из которых ровно 1003 имеют сторону 1. Найдите все возможные значения, которые может принимать сторона исходного треугольника. Если вариантов ответа несколько, в ответе укажите их сумму.

Средняя

Теория чисел

Планиметрия

СПбГУ 2022, отборочный этап, 10–11 классы, задача 9

(30 баллов) На стороне AC треугольника ABC как на диаметре построена окружность с центром O, пересекающая сторону BC этого треугольника в точке D. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC, если OD=4, DC=3, а центр описанной окружности треугольника ABC лежит на BO.

Средняя

Планиметрия