СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 9

Средняя

Источник:

Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2022, 10–11 классы

( баллов) На стороне треугольника как на диаметре построена окружность с центром , пересекающая сторону этого треугольника в точке . Найдите радиус вписанной окружности треугольника , если , , а центр описанной окружности треугольника лежит на .

Ответ

Ответ: .

Чертёж к решению

Решение. Точка — середина . Поскольку центр описанной окружности треугольника лежит на его медиане , то эта медиана совпадает с серединным перпендикуляром к стороне , и треугольник — равнобедренный с основанием .

Угол прямой как вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности. В треугольнике проведены две высоты — и . Следовательно, треугольник подобен треугольнику с коэффициентом подобия . По формуле Герона

Поэтому

Верное решение

Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 6

(30 баллов) Основания AB и CD трапеции ABCD равны 15 и 19 соответственно. AH и BG — высоты на прямую DC, CF — высота на прямую AB. Точки K, L, M, N — середины отрезков AB, CF, CD и AH соответственно. Найдите отношение площади трапеции ABCD к площади четырехугольника KLMN, если DG=17.

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2023, 8–9 классы, задача 4

(30 баллов) На сторонах BC и AC равнобедренного треугольника ABC (AB=AC) нашлись точки D и E соответственно такие, что AE=AD, angle EDC=18^circ. Найдите величину угла angle BAD.

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 8

(30 баллов) Пусть AL — биссектриса треугольника ABC. Точки K и M на отрезках CL и AC таковы, что KMparallel AB. Найдите длину отрезка KL, если KM=5, AM=8, AB=7, BL=(32/5). Чертёж к задаче

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 6

(20 баллов) Равносторонний треугольник разбит на 1004 меньших равносторонних треугольника, из которых ровно 1003 имеют сторону 1. Найдите все возможные значения, которые может принимать сторона исходного треугольника. Если вариантов ответа несколько, в ответе укажите их сумму.

Средняя

Теория чисел

Планиметрия