СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 6
( баллов) Основания и трапеции равны и соответственно. и — высоты на прямую , — высота на прямую . Точки , , , — середины отрезков , , и соответственно. Найдите отношение площади трапеции к площади четырехугольника , если .
Ответ
Ответ: или .
Решение. Обозначим трапецию вершинами по часовой стрелке, а основания будем считать расположенными горизонтально. Поскольку в условии не обозначено, где именно на прямой лежит точка , то в решении необходимо рассмотреть все случаи. Возможны два варианта: точка лежит слева от точки (см. рисунок слева) и точка лежит справа от точки (см. рисунок справа). Во втором случае, т.к. , точка лежит на отрезке .
Пусть — высота трапеции. По условию, точки и — середины высот трапеции. Заметим, что площадь четырехугольника складывается из площадей треугольников и , имеющих одно основание и высоты, равные половине высоты трапеции, т.е.
Получаем, что искомое отношение площадей равно
— это расстояние между прямыми и . В случае, когда точка лежит слева от точки , т.е. не попадает на основание , величина . Во втором случае .
Следовательно, получаем два ответа: и .
Верное решение