СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 1
(10 баллов) Шахматные клубы Москвы, Санкт-Петербурга и Казани договорились провести турнир. Каждый москвич сыграл ровно с 9 петербуржцами и с n казанцами. Каждый петербуржец сыграл ровно с 6 москвичами и с 2 казанцами. Каждый казанец сыграл ровно с 8 москвичами и с 6 петербуржцами. Чему равно n?СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 2
(10 баллов) В каждой клетке квадрата 50 × 50 записали число, равное количеству прямоугольников 1 × 16 (как вертикальных, так и горизонтальных), в которых эта клетка является крайней. В скольких клетках записаны числа, большие или равные 3?СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 3
(20 баллов) На факультете журналистики университета Сказочного Содружества имеется 5 целевых мест: 2 на дневном отделении и 3 на вечернем. На них направлены 4 курицы: три черных и белая. Место для каждой курицы резервируется сразу после подачи ею заявления, причем порядок подачи курицами заявлений сСПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 4
(20 баллов) Для скольких натуральных чисел n, не превосходящих 600, тройки чисел lfloorfrac n2rfloor, lfloorfrac n3rfloor, lfloorfrac n5rfloor и lfloor(n+1/2) rfloor, lfloor(n+1/3) rfloor, lfloor(n+1/5) rfloor различны? Как всегда, через lfloor xrfloor обозначена целая часть числа x, т.е. наибольшееСПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 5
(20 баллов) На базаре в Египте турист торгуется с продавцом за сувенир стоимостью 10000 египетских фунтов. Турист сначала снижает цену на x процентов (0СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 6
(30 баллов) Основания AB и CD трапеции ABCD равны 15 и 19 соответственно. AH и BG — высоты на прямую DC, CF — высота на прямую AB. Точки K, L, M, N — середины отрезков AB, CF, CD и AH соответственно. Найдите отношение площади трапеции ABCD к площади четырехугольника KLMN, если DG=17.СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 7
(30 баллов) В остроугольном равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведены высоты AD и CE, которые пересекаются в точке H. Описанная окружность треугольника ACH пересекает отрезок BC в точке F. Докажите, что angle ABH=angle BFH. Чертёж к задачеСПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 8
(30 баллов) На сторонах AB и AD квадрата ABCD отмечены точки E и F так, что BE:EA=AF:FD=2022:2023. Отрезки EC и FC пересекают диагональ квадрата BD в точках G и H соответственно. Найдите GH:BD.СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 9
(40 баллов) Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди натуральных чисел от 1 до 3000 так, чтобы разность любых двух из них была отлична от 1, 4 и 5?СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 10
(40 баллов) На доске написаны 1000 различных натуральных чисел. Оказалось, что для каждого написанного числа a на доске найдется еще хотя бы одно число b такое, что |a-b| — простое число. Докажите, что можно подчеркнуть не более 500 чисел так, чтобы для каждого неподчеркнутого числа a нашлось подчерСПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 11
(40 баллов) Найдите все пары рациональных чисел (a,b), для которых √a+√b=√(2+√3).СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 12
(40 баллов) Решите уравнение 2024(frac1{n!}-frac1{m!})=(m/n!) -frac1{m!} в натуральных числах.
